Введение 3

1. Понятие учебного исследования 5

2. Математическое развитие младших школьников 8

3. Задания исследовательского характера в прог. ФГОС по математике 17

4. Нестандартные арифметические задачи — одно из средств формирования умений учебного исследования 27

Заключение 33

Список использованных источников 34

Внимание!

Диплом № 3661. Это ОЗНАКОМИТЕЛЬНАЯ ВЕРСИЯ дипломной работы, цена оригинала 1000 рублей. Оформлен в программе Microsoft Word. 

Оплата. Контакты.

Введение

Согласно требованиям федерального государственного образовательного стандарта необходимо свести школьное образование к уровню, отвечающему потребностям времени, появляющимся в современном обществе, которое постоянно изменяется, характеризуется многообразными существующими в нем связями, широким внедрением информационных технологий. Это определяет, что в учебный процесс общеобразовательных учреждений внедряются методы и технологии учебных исследований обучающихся, в том числе и младших школьников. Исследовательская активность — естественное состояние ребенка, он настроен на познание мира, он хочет его познавать.

Необходимость математического развития младшего школьника в учебной деятельности отмечается многими ведущими российскими учеными (В.А. Гусев, Г.В. Дорофеев, Н.Б. Истомина, Ю.М. Колягин, Л.Г. Петерсон и др.). Это обусловлено тем, что на протяжении дошкольного и младшего школьного периода у ребенка не только интенсивно развиваются все психические функции, но и происходит закладка общего фундамента познавательных способностей и интеллектуального потенциала личности.

Формирование навыков учебно-исследовательской деятельности у учащихся представляет собой актуальную задачу современной методики обучения в начальной школе. Учитывая актуальность темы курсовой работы была сформулирована следующая цель — изучить особенности учебных исследований на уроках математики в начальной школе.

В соответствии с целью решались следующие задачи:

-изучить понятие учебного исследования;

— выявить особенности исследований проводимых на уроках математике в начальной школе;

— рассмотреть формы организации учебного исследования при изучении математики в начальных классах

— провести анализ программ и учебников по математике для 1-4 классов на наличие в них заданий исследовательского характера;

— подобрать задания исследовательского характера по математике, направленных на развитие исследовательских умений младших школьников;

— Объектом исследования выступает процесс обучения математике в начальной школе.

Предметом: учебные исследования младших школьников на уроках математики.

Нами была выдвинута следующая гипотеза: при систематическом использование в процессе обучения математике различного рода заданий исследовательского характера позволяет повысить уровень сформированности исследовательских умений младших школьников.

Для достижения поставленной цели и решения задач использовались следующие методы исследования:

— анализ психолого-педагогической и методической литературы по проблеме;

— анализ программ и учебных пособий по математике для начальной школы

— наблюдение за учебным процессом на уроках математики

§1Понятие учебного исследования

В качестве одного из перспективных средств раскрытия познавательного потенциала обучаемых широкое применение находит учебное исследование, поскольку благодаря нему активизируется интерес к тому или иному знаниевому компоненту в рамках тех предметов, которые входят в базисный учебный план; развивают у школьников представления о межпредметных связях; развивается интеллектуальная инициатива учащихся в ходе обучения; создаются условия для обучения новым информационным технологиям и средствам телекоммуникаций; создают предпосылки для развития научного образа мышления, творческого подхода к собственной деятельности; созданию сферы предметного общения внутри детского коллектива, формированию реального авторитета преподавателя, что помогает формированию детского коллектива на принципиально другой нравственной основе, содействует предметному общению детей из разных коллективов.

Вопросами исследования в обучении занимались ученые педагоги-гуманисты эпохи Возрождения, в качестве метода его рассматривали и классики педагогики Я.А. Коменский, Дж. Локк, Ж.Ж. Руссо, И. Песталоцци и др. В России первым выдвинувшим идею о учебном исследовании стал просветитель Н.И. Новиков во 2-ой половине XVIII века. Вклад великих деятелей и педагогов России, среди которых Н.И. Пирогов, Н.Г. Чернышевский, Д.И. Писарев, Н.А. Добролюбов, К.Д. Ушинский и другие оценивается как значительный в теоретических обоснованиях проблем учебного исследования. В послереволюционный период в нашей стране позиции исследовательского подхода в советской школе отстаивали Н.К. Крупская, С.Т. Шацкий, Б.Е. Райков. В 50-70 годах XX в. проблеме учебного исследования были посвящены работы известных дидактов и методистов М.Н. Скаткина, И.Я. Лернера, С.Г. Шаповаленко, М.И. Махмутова. В настоящее время проблемой исследовательской деятельности занимаются А.И. Савенков, А.В. Леонтович, А.С. Обухов и др.

Частые перемены в жизни побуждают общество к пересмотру смыслов и значений исследовательских мотивов человека, а также роли и места учебного исследования в обучении в процессе осуществления массового образования. Именно внедрение исследования как метода в образовательный процесс позволяет обучающихся встать на позицию активного участника творческого процесса, а не пассивного потребителя готовой информации.

Под учебным исследованием понимается процесс или способ обучения, соответствующий природе ученика, его психологическому и духовному развитию, возможностям, уровню интеллектуального развития. В первую очередь, у школьника необходимо сформировать внутренний аппарат средств исследования, которые называют предметными действиями (перцептивными, мыслительными, эмоциональными). К таким действиям можно отнести умение подчинять свое восприятие поставленным задачам; умение видеть целое в единстве формы и содержания; умение сводить сложное к простому; умение выявлять наиболее общие закономерности; умение рассматривать объекты с разных сторон и позиций; умение сопереживать; умение к диалогу как сотворчеству понимающих; умение распознавать, понимать и передавать в речи эстетические переживания и суждения; умение осмысливать, интерпретировать воспринятое в свете прежнего опыта.

Для успешной организации исследования учителю необходимо научиться создавать среду, которая бы провоцировала младшего школьника к самоопределению и самоуправлению в поиске решений; провоцировала возникновение вопросов и желаний найти ответы; соответствовала интересам и мотивации ребенка; развивала творческие способности. Поэтому одно из важных условий увеличения эффективности учебного процесса является организация учебного исследования и развитие его основных компонентов — исследовательских умений, помогающие младшим школьникам лучше справляться с требованиями программы, но и развивают у них логическое мышление, создают внутренний мотив учебной деятельности в целом.

Исследовательские умения включают в себя умение видеть проблемы, задавать вопросы, выдвигать гипотезы, давать определение понятиям, проводить наблюдения и эксперименты, делать выводы и умозаключения, классифицировать и структурировать материал, работать с текстом, доказывать и защищать свои идеи.

Наиболее полно развитие исследовательских умений происходит в процессе исследовательского обучения, т.к. оно соответствует природе ребенка и современным задачам обучения. В его основу положен собственный исследовательский поиск ребенка, а не усвоение им готовых знаний, преподносимых учителем.

§2 Математическое развитие младших школьников

Вопросы математического развития школьников стали предметом обсуждения математической общественности с середины прошлого века. Так, академик А.И. Маркушевич считал необходимым разработку целостной программы математического развития в силу того, что задача математического развития или математического воспитания учащихся является важнейшей в общем образовании. Математическое развитие младших школьников выдвигается Государственным образовательным стандартом начального общего образования второго поколения в качестве одной из приоритетных целей обучения [19]. Математическое развитие младших школьников имеет особую значимость, потому что:

1) математические знания, приобретаемые в начальной школе, составляют фундамент математического образования, на этой ступени обучения закладываются основы исходных математических понятий, таких, как число, величина, геометрическая фигура, алгебраическая операция;

2) в младшем школьном возрасте начинается развитие навыков дедуктивного мышления, абстрактного уровня восприятия и осмысления окружающей действительности, наиболее явно представленных в математике;

3) младший школьный возраст сенситивен для усвоения разных языковых кодов, а математика, в частности, — это язык описания количественных и структурных свойств материальной или идеальной реальности.

В работах педагогов-математиков математическое развитие чаще всего отождествляется с развитием математического мышления. Так, А.В. Белошистая, специально исследовавшая проблему математического развития ребенка в системе дошкольного и начального школьного образования, понимает под математическим развитием целенаправленную методическую работу по формированию и развитию совокупности взаимосвязанных базовых свойств и качеств математического мышления детей.

В то же время единого мнения о понятии математическое мышление в психолого-педагогической и методической литературе нет. Так, выделяемые чаще всего такие его свойства, как абстрактность, логичность, способность к формализации, обобщению и др., таковы, что они характеризуют мышление в любой содержательно насыщенной предметной области. Некоторыми исследователями специфика математического мышления связывается со своеобразием содержания математики, предметом изучения которой являются объекты, создаваемые самой математикой. Таким образом, достижение цели математического развития в практике обучения требует уточнения самого понятия математическое развитие и выявления психолого-педагогических и методических средств, способствующих его достижению.

Развитие как психолого-педагогическая категория подразумевает развитие жизненного опыта обучающихся — построение человеком своего образа окружающего мира, своего образа в этом мире и образа своего «Я». С этой позиции математическое развитие младших школьников, являясь частным случаем развития жизненного опыта человека, трактуется нами как процесс построения ребенком своего математического образа мира и своего образа в этом мире. Это значит, математическое развитие определяется, прежде всего, своеобразием математики как специфического орудия познания, своеобразием создаваемых ею объектов, которые существуют только как мысленные идеальные образы, связь которых с материальным миром опосредована и неочевидна.

Являясь результатом многоуровневой абстракции, каждый математический объект репрезентируется специальными знаками, образующими вместе с правилами действий над ними математический язык (языком в современной логике называют любые системы знаков, используемые в человеческом общении). Синтаксис математического языка представляет собой достаточно обширную систему правил, но основные трудности в построении математического образа мира связаны не с его формальной структурой.

Знаково-символическое обозначение математического объекта — его имя, а сам объект — денотат (значение) имени. Денотат имени — это мысленный образ, формирующийся в процессах познания выделяемых свойств реальности, в котором отражен как материальный мир, так и деятельность познающего субъекта в этом мире.

Например, денотатом имени 2 + 3 является число 5. Но содержание этого имени не исчерпывается денотатом. Так, имена 2 + 3 и 5 обозначают один и тот же объект, но, очевидно, имеют различное содержание. Поэтому каждому имени приписывается еще один род содержания — его смысл.

Смысл — это то, что усвоено, когда понято имя. В то же время «Смысл (концепт денотата) однозначно и единственным образом определяет денотат». [24] Например, знание смысла имени 2 + 3 подразумевает знание смыслов всех составляющих его имен, что позволяет однозначно определить его значение.

Нетрудно видеть, что необходимым условием построения учеником своего математического образа мира является знание содержания всех имен изучаемых объектов, их значений и смыслов. Вместе с тем способы репрезентации математических объектов не связаны однозначно со знаками определенной семиотической системы. Кодирование математической информации может осуществляться знаками различных семиотических систем. При этом то, что сохраняется при правильном перекодировании, т.е. выделяемый по принципу «знак — содержание — знак» инвариант сообщения, согласно А. Черчу, является смыслом имени изучаемого объекта. Отсюда следует: описание объекта познания знаками различных семиотических систем и осуществление взаимно обратимых переводов информации с одного языка на другой является одним из важнейших условий усвоения обучающимися смысла математических объектов.

Свои познавательные функции знаки (символы, слова) выполняют не только благодаря тому, что закрепляют сформированные понятия, они снижают непродуктивную мыслительную активность в процессе оперирования понятиями, дают возможность хранить понятия в свернутом виде. Они удобнее и доступнее, чем репрезентируемое ими содержание, но именно поэтому в условиях обучения они являются обоюдоострым орудием. В сознании учащихся знак может неправомерно доминировать над тем содержанием, которое он обозначает [21]. Если такое доминирование имеет место в процессе обучения, то акцент в познании переносится на усвоение способов оперирования именами изучаемых объектов, т.е. правил оперирования формальными схемами, правил синтаксиса математического языка в ущерб его семантике.

В таком случае усвоение школьниками содержания математических объектов идет в направлении «от знака к смыслу». Действительно, решая познавательные задачи, ученик оперирует знаками согласно правилам синтаксиса математического языка. Эти правила и выступают непосредственным предметом усвоения, а самая трудная часть работы по усвоению смысла познаваемых объектов перекладывается на ученика, который стихийно выстраивает их понятийные образы и далеко не всегда адекватно их онтологической сущности. В итоге ребенок оказывается не в состоянии выйти за пределы узких формальных схем, что выражается в неумении решать сколько-нибудь содержательные задачи, связанные с познанием исследуемых фрагментов действительности, что и означает отсутствие математического образа мира.

Логически в процессе обучения возможен противоположный подход к раскрытию содержания математических объектов, а именно подход, при котором интеллектуальная деятельность познающего субъекта направляется от смысла к знаку, когда знак возникает только как обозначение уже известного, тем или иным образом сформированного смысла. Например, если при вычислении значения суммы познавательная деятельность складывается из следующих действий ученика: 1) создаются множества, не имеющие общих элементов, мощности которых есть складываемые числа; 2) эти множества объединяются; 3) находится мощность объединения, — то в этом случае ученик оперирует не формальными схемами — именами чисел, а самими числами, которые изображаются наглядно конкретными представителями соответствующих классов эквивалентности и наглядным образом сложения таких чисел. В процессе осуществления подобных действий формируется смысл изучаемых понятий, а используемые символы только репрезентируют этот смысл, который хранится в сознании в форме понятийного образа. Если понятийные образы сформированы, то, решая познавательные задачи, ученик оперирует не только и не столько знаковыми схемами, сколько самими математическими объектами. Результатом решения в этом случае является субъективно новое для ученика знание о математических методах познания и вместе с тем расширение и углубление его математического образа мира. По мере усложнения математического опыта познающего субъекта мысленные образы математических понятий обогащаются, оставаясь открытыми для дальнейшего уточнения [25]. С другой стороны, познавательная деятельность, основываемая на выявлении смысла изучаемых понятий, ведет к формированию понятийных образов, адекватных объективному содержанию понятия.

Психолого-педагогические исследования понятийного мышления показывают, что «образы, возникающие в условиях понятийного познания, нельзя рассматривать всего лишь в качестве чувственной основы понятийной мысли, некоторого наглядного ее аккомпанемента»[22]. Согласно М.А. Холодной, понятийный образ имеет сложную, иерархически организованную структуру, включающую когнитивные компоненты разного уровня обобщенности (от психомоторных до абстрактно-логических): словесно-речевой, визуально-пространственный, чувственно-сенсорный, операционально-логический и др.

В то же время понятийный образ, в отличие от представлений, которые классифицируются по модальности (зрительные, слуховые, тактильные и др.), представляет собой, прежде всего, пространство движения мысли, в котором представления выполняют функцию поддержки математической мысли и содержатся внутри него как его неотъемлемая часть. Но мысленный понятийный образ — не картинка, которую одна часть мозга «показывает» другой. Он образует семантическое поле, синтезирующее различные составляющие когнитивного опыта, в которое включаются содержательные связи с другими понятиями. В такой структуре отражается не только материальный мир, но и действия субъекта в нем. В ней идеальный абстрактный математический объект «опредмечивается», обеспечивая «видение» его семантических признаков.

Известно, что доминирующим в познавательной деятельности учеников 6–10 лет является правое полушарие мозга, отвечающее по преимуществу за образное, интуитивное, визуальное мышление, играющее ведущую роль в процессах понимания и творчества. Для младших школьников, мышление которых предметно, целостно и креативно, мысленные образы изучаемых понятий составляют ту основу, без которой сознательные усилия по поиску решения познавательных задач практически невозможны.

Как правило, познавательная задача предъявляется младшему школьнику в словесно-речевой форме, описывающей некоторую учебную ситуацию. В силу доминирования правого полушария мозга в познавательной деятельности ученика наглядные представления информации для него более доступны. Они дают возможность охватить ситуацию целостно, тогда как речевое сообщение, развертывающееся последовательно, дискретно, воспринимается школьником значительно сложнее. Поэтому необходим перевод вербальной информации в пространственно-предметную форму, такое ее перекодирование, которое обеспечивает непосредственное и целостное видение учеником содержания сообщения. При этом для него открывается возможность оперировать предметными заместителями элементов рассматриваемой ситуации, возможность осуществления математического эксперимента, совершения действий, абстрагирование которых ведет преимущественно к формированию чувственно-сенсорных компонентов понятийного образа.

Но восприятие учеником тех характеристик подлежащей рассмотрению ситуации, которые составляют собственно математическую информацию, содержащуюся в сообщении неявно, такой перевод обеспечить не может. Для младшего школьника необходимо наглядное представление количественных и структурных характеристик рассматриваемой ситуации, связей и отношений между ними, кодирующих собственно математическую информацию без «затемнения» привходящими обстоятельствами, абстрагирование которой способствовало бы формированию визуально-пространственных и операционально-логических когнитивных компонентов мысленного образа.

В процессе решения учебной задачи можно выделить несколько этапов: этап ее осознания, сознательного поиска решения путем создания мысленного образа исследуемой ситуации; если решение не достигается, то включается бессознательный комбинаторно-импровизационный механизм — этап инкубации; этап озарения (инсайт) — осознания идее решения; последний этап — этап изложения и проверки. Достаточно ясно, что указанные этапы имеют место при решении не только математических, но и задач любой содержательно насыщенной предметной области, если только задача не является тривиальной.

Развиваемый здесь подход к проблеме математического развития младших школьников выявляет, прежде всего, гуманитарный потенциал математического образования, так как дает учащимся возможность осознать математический язык как речь особого свойства, частный случай языковой системы, открывая пути интеграции в начальном образовании. В процессах кодирования и перекодирования информации открываются возможности воспитания у школьников культуры мышления, характеризующейся интеллектуальной ясностью, простотой научных конструкций, наглядной конкретностью понятий. Кроме того, при этом подходе у младших школьников развивается необходимое в условиях познания сложных систем образное мышление.

Таким образом, математическое развитие младших школьников, понимаемое как становление в сознании учащихся своего математического образа мира, осуществляется в процессе формирования понятийных образов математических объектов путем кодирования и перекодирования информации знаками различных семиотических систем, в которых представлены инварианты чувственно-конкретного и предметно-смыслового опыта познающего субъекта, выявляющие смысл и значение изучаемых математических понятий. В таком процессе школьник осваивает математические методы познания реального мира в гармоническом сочетании формально-логических и понятийно-образных способов мышления.

Таким образом, под учебным исследованием понимается специально организованный учебный процесс под руководством педагога, направленный на изучение различных объектов при соблюдении установленных процедур и этапов, близких научному исследованию, но адаптированных к уровню познавательных возможностей школьников.

§3 Содержание программ ФГОС по математике

Фундаментом нового Федерального государственного образовательного стандарта (ФГОС) является культурно-исторический системно-деятельностный подход (основы которого были заложены Л.С. Выготским, А.Н. Леонтьевым, Д.Б. Элькониным, П.Я. Гальпериным, В.В. Давыдовым, их учениками и последователями), содержащий основную идею образования в проектировании определенного типа мышления. Направленность на теоретический тип мышления обуславливает организацию учебных предметов как системы научных понятий, усвоение которых находится в зависимости от формирования учебной деятельности и организации системы учебных действий школьника.

В содержание концепции ФГОСов утверждается, что обучение выполняет свое главное значение для умственного развития, в первую очередь, через методы, формы организации и общения учащихся, характер дидактических материалов и другие стороны учебного процесса.

Курс математики представляет собой целостную систему специальных (ключевых) учебно-практических задач, которые определяют начало любой новой темы, а не набор заданий развивающего характера. Условиями решений этих задач являются либо организация ситуации, которые воссоздают исторический этап зарождения того или иного понятия (например, понятие числа), либо введение в реальную жизненную ситуацию (например, введение смысла умножения), что по мысли авторов ФГОС создает возможность получения метапредметных результатов. Следует добавить, что для решения подобных задач так или иначе требуется организация коллективно-распределенных форм деятельности, что определяет наличие оптимальных условий в формировании универсальных учебных действий, а также получение предметного, метапредметного и конечно же личностного результатов обучения. Это указывает на то, что знания не даются в готовом виде. Они получаются в совместной деятельности с одноклассниками и учителем как организатором и соучастником процесса обучения.

Остановимся на том, какие возможности предоставляют учебники комплекта «Школа России» для организации учебного исследования младших школьников. В одной из своих предыдущих публикаций мы показали, какие исследовательские задания для организации кулинарного праздника может предложить учитель на основе интеграции внеклассного чтения и сведений по окружающему миру[5]. Учитель может предложить при подготовке к этому празднику составить (на основе кулинарных рецептов) математические задачи на расчет продуктов, на стоимость покупок продуктов в магазине, используя при этом арифметические навыки, которые к тому времени уже сформированы у учеников. Это, кстати, позволит включить в дело и тех очень серьезных учащихся, которые редко участвуют во внеклассных мероприятиях.

Немалые возможности представляет для организации учебного исследования и учебник математики авторского коллектива под руководством М.И. Моро. Например, в нем довольно много текстовых задач на расчеты зависимостей между ценой, количеством и стоимостью товаров в магазине, в которых вместо цены товара оставлен пустой квадрат и дано задание составить задачу.

Действительно, при то ускоряющейся, то замедляющейся инфляции вставка в условие задачи любой фиксированной цены может вызвать кривую усмешку не только у родителей, но и у учащихся, если они сталкивались в магазине с ценой, резко отличающейся от той, которая имеется в условии задачи. Такие задачи со вставкой реальных данных весьма важны, так как «Примерные программы…» в графе «Планируемые результаты» ставят проблему обучения использованию навыков определения зависимостей для решения практических задач, а не квазиреальных. Поэтому учитель, опираясь на условие такой задачи с пустым квадратом, вместо цены может дать задание для групповой работы: посетить близлежащие рынки и магазины, зафиксировать цены на тот товар, цена которого не проставлена в условии задачи, и не только решить данную задачу, но и составить свои задачи с другими условиями, другими вопросами типа: «На сколько..?», «Сколько удалось сэкономить?», «Хватило ли денег..?» и т.д. На презентации придуманных учениками задач можно рассказать о торговой наценке, от чего она зависит, как рассчитывается и т.д.

В учебнике математики также много текстовых задач на движение. На основе любой из подобных задач можно организовать исследование о рекордах в спорте. Это более сложный проект, так как он требует поиска информации в дополнительной литературе или Интернете. При этом учитель должен понимать, что сами по себе цифры спортивных рекордов, далекие от жизненной практики учеников, не будут ими правильно восприняты и вскоре забудутся. Поэтому в ходе исследования можно провести на уроке физкультуры мини-олимпиаду с фиксацией результатов в беге, прыжках в длину и высоту и т.д. Желательно, чтобы в этой олимпиаде принял участие и учитель физкультуры. Тогда ученики смогут сопоставить результаты рекордсменов мира с показателями хорошо физически развитого взрослого человека. Можно в выходные дни организовать соревнования «Папа, мама, я — спортивная семья» с фиксацией результатов. Однако только сопоставление рекордов с результатами обычных людей и детей — это еще не все, что может дать такое исследование для математической подготовки учащихся. Важно предложить ученикам задание: «Составить по моделям задач, которые есть в учебнике, свои задачи на основе собранной информации». При этом нужно предупредить учащихся, что условия задач должны быть интересными. Можно сопоставить рекорды в одном виде спорта, но достигнутые в разное время, или подумать над тем, за какое время один рекордсмен мог бы догнать другого в разных видах спорта, и т.д. Классическим примером таких сопоставлений может быть информация о том, что эфиопские марафонцы проводили тренировки наперегонки с собакой. Результатом такого проекта может быть подготовленный школьниками иллюстрированный альбом задач «Математика в спорте». На наш взгляд, составление задач подобного типа может заинтересовать даже тех мальчиков, которые никогда до этого математикой не увлекались. Любителям биологии можно дать задание дополнить создаваемый альбом задачами на тему «Рекорды в животном мире».

Задачи учебника математики на определение площади могут дать старт проекту «Ремонт в нашей квартире», которым заинтересуются школьники с практической жилкой, любители геометрии и учащиеся с экономическим складом ума. В ходе выполнения этого проекта они должны будут обмерить рулеткой полы, рассчитать площадь квартир и начертить планы, соблюдая масштаб, обмерить и рассчитать площадь стен, вычислить количество рулонов обоев и их стоимость и т.д.

Для учеников с гуманитарным складом ума будут интересны темы «Единицы измерения в Древней Руси» и «Единицы измерения в других странах», но составление задач на сопоставление этих величин с современной метрической системой будет затруднено тем, что им придется иметь дело с десятичными дробями, а в этом случае им понадобится консультация взрослых (учителя или родителей). Думается, что школьников особенно заинтересует система английских мер длины, которая основана не на физических параметрах какого-то давно забытого безымянного предка, как в русской системе длин (пядь, вершок, локоть, аршин, сажень, косая сажень), а на физических параметрах английского короля Эдуарда I Лонгшана: дюйм — длина фаланги пальца его руки, фут — длина стопы, ярд — длина шага. Интересной будет и информация о титанических усилиях французских геометров XVIII в. по измерению длины парижского меридиана при составлении современной десятичной системы длин. Заинтересует гуманитариев и тема «Математика в Древнем мире» (Пифагор, Евклид, Фалес Милетский).

Главное при планировании этих исследовательских заданий и проектов — суметь связать их с изучаемым материалом, чтобы не превысить возрастных возможностей учащихся и не отбить у них желания постигать роль математических знаний в окружающем мире.

Рассмотренные нами исследовательские задания и проекты предназначены для учащихся III–IV классов, так как требуют не только достаточно хорошо сформированных навыков чтения при поиске дополнительной информации, но и умения самостоятельно составлять условия задач. В I–II классах исследовательские задания должны быть более легкими. Например, неплохо дать задание по нахождению с помощью взрослых пословиц, поговорок и загадок, включающих числа (например: «Один в поле не воин», «Семеро одного не ждут» и т.д.). Та же тема может быть повторена и в III–IV классах, но осложнена заданием найти дополнительный материал об отношении к так называемым магическим числам древних египтян, греков, римлян и славян. Такой материал не только позволит ученикам по-новому воспринять русский малый фольклор, но и включит эти сведения в более широкий культурно-исторический контекст, позволяющий понять всеобщность математических знаний. В результате материал об одновременном использовании в науке и быту римских и арабских цифр получит новое освещение.

Другая большая тема, которую можно начать анализировать уже в I классе и продолжить затем в последующих классах, — это тема «Узоры» из «Примерных программ начального общего образования» (ч. 1, с. 298, 299). Известно, что дошкольники любят рисовать узоры, вырезать снежинки из бумаги к Новому году, но делают они это обычно по образцу, предложенному взрослыми, не понимая сущности узора и чувствуя лишь его красоту. В I классе им можно дать понятие о том, что узор — это не просто рисунок, а комбинация из повторяющихся геометрических элементов. Первоклассникам можно предложить на примере бытовых предметов (посуды, элементов мебели, одежды, обуви) или городских объектов (решеток, зданий, цветников) понаблюдать за тем, из каких элементов каждый из них состоит, в какой последовательности эти элементы расположены, а также попросить зарисовать их. В дальнейшем, при изучении изобразительного искусства по программе Т.Я. Шпикаловой, ученики узнают, что в народном искусстве геометрические фигуры имели символическое значение.

Это дает возможность провести интегрированное исследование на тему «Магические узоры», в котором учащиеся должны рассмотреть сохранившиеся у них дома (или в музее) предметы, украшенные орнаментом, а затем, зарисовав их, попытаться расшифровать тот скрытый старинный магический смысл, который вложен в этот узор.

В IV классе при изучении страниц всемирной истории и истории Отечества можно продолжить изучение этой темы, проведя интегрированные исследования «Узоры в Древнем Египте», «Узоры в Древней Греции», «Узоры в Древней Руси», которые включат геометрический материал в огромный культурно исторический контекст и дадут учащимся возможность почувствовать не только практическую значимость, но и художественную ценность геометрии.

Для наиболее талантливых четвероклассников, интересующихся дизайном и в то же время достаточно неплохо знакомых с компьютером, можно предложить поработать (совместно с преподавателем информатики) над проектом на тему «Создание программы компьютерной графики», так как в последнее время активно развивается такое направление, как фрактальная орнаментика.

Таким образом, учебники «Школа России», и прежде всего учебник математики, созданный авторским коллективом под руководством М.И. Моро, дают возможность не только основательно изучить материал начальных классов, но и организовать исследовательскую работу учащихся, в том числе и интегрированного типа.

§4 Нестандартные арифметические задачи — одно из средств формирования умений учебного исследования

Развитие математических способностей учащихся происходит в процессе решения задач, в том числе и нестандартных арифметических, что способствует развитию мышления младших школьников, его гибкости и вариативности. Поэтому учителя включают их в уроки математики, предлагают для самостоятельной работы, используют во внеурочной деятельности. Однако работа с ними не всегда дает положительные результаты: школьники испытывают трудности при решении задач повышенной сложности, содержащихся в учебниках математики, не справляются с олимпиадными заданиями. Часто учащиеся не знают, с чего начать их решение, не могут выработать план действий. Причины такого положения лежат, на наш взгляд, в отсутствии системы обучения младших школьников решению нестандартных арифметических задач и в неполноценном использовании возможностей исследовательской деятельности учащихся. В связи с этим мы решили так организовать обучение младших школьников решению нестандартных арифметических задач, чтобы оно способствовало как формированию соответствующего умения, так и развитию исследовательских умений.

Методической основой обучения решению нестандартных арифметических задач явились материалы статьи Е.Е. Останиной, опубликованной в журнале «Начальная школа»[15]. В этой методике Е.Е. Останина выделяет серии задач, причем задачи каждой серии подчинены определенной цели.

Первая задача серии решается под руководством учителя (чаще всего она более сложная, чем другие задачи). В ходе работы над ней выводится прием или способ, который помогает решить задачу. На следующих задачах учащиеся упражняются в применении приема, который они сформулировали, и выделяют некоторые ориентиры, помогающие определить, в каких случаях удобно его использовать. Рекомендации по решению нестандартных задач (сформулированные Е.Е. Останиной) объединены в памятке.

Памятка по решению нестандартных арифметических задач

Если тебе трудно решить задачу, то попробуй:

1) сделать к задаче рисунок или чертеж; подумай, может быть, нужно сделать на них дополнительные построения или изменить чертеж в процессе решения задачи;

2) ввести вспомогательный элемент;

3) использовать для решения задачи способ подбора;

4) переформулировать задачу другими словами, чтобы она стала более понятной, знакомой;

5) разделить условие или вопрос задачи на части и решить ее по частям;

6) начать решение задачи с конца. Занятия факультатива длительностью 45 минут проходили один раз в неделю по следующему тематическому плану.

Факультатив могли посещать все желающие учащиеся IV классов. Каждое занятие по освоению новой серии задач выстраивалось по плану, направленному на формирование исследовательской деятельности.

1. Выявление актуальности научной проблемы.

2. Определение темы исследования, формулировка ее цели и задачи. Формулировка гипотезы.

3. Планирование хода исследования, разработка его методики.

4. Создание условий, необходимых для эксперимента, подбор оборудования.

5. Проведение практической части исследования, регистрация качественных и количественных результатов.

6. Обработка полученных результатов и представление их в виде таблиц, диаграмм, графиков.

7. Анализ (истолкование) полученных результатов.

8. Формулировка выводов и практических рекомендаций.

9. Написание и оформление итоговой работы.

При изучении каждого приема решения задач мы организовывали небольшое научное исследование. Важно, чтобы учащиеся понимали, что они делают, в какой последовательности и с какой целью.

Приведем примеры фрагментов некоторых занятий.

Занятие 1. Нестандартная арифметическая задача. Открытие приема 1: использование чертежа, рисунка.

Учитель предлагает учащимся задачу: «На уроке физкультуры все ученики выстроились в линейку на расстоянии 1 м друг от друга. Вся линейка растянулась на 12 м. Сколько учеников в классе?»

Учащиеся внимательно читают задачу. С целью выявления проблемы, заложенной в задаче, и формулировки гипотезы учитель проводит беседу.

— О чем идет речь в задаче? (Об учениках, которые построились в линейку длиной 12 м на расстоянии 1 м друг от друга.) Что надо найти в задаче? (Количество учеников.) Выскажите предположение (гипотезу), как бы вы решили эту задачу? (Разделим 12 м на равные отрезки по 1 м и полчим количество учеников.)

Учащиеся выполняют действие: 12 : 1 = 12 (уч.).

— Для обработки полученных результатов и проверки гипотезы предлагаю проверить предположение, выполнив чертеж.

Учащиеся чертят отрезок длиной 12 клеток и ставят штрихи через 1 клетку.

— Как узнать, правильно ли мы нашли количество учащихся? (Для этого надо посчитать количество штрихов.) Сколько их? (13.) Совпадает ли данный результат с числом, полученным при делении? (Нет.) Выскажите свое предположение, почему так получилось? (Потому что делением мы нашли количество получившихся отрезков, а не количество необходимых для их построения штрихов, совпадающее с количеством людей. Надо было сначала построить чертеж.)

Для формулировки выводов и практических рекомендаций учитель задает следующие вопросы:

— Какой способ мы использовали, чтобы правильно решить задачу? (Построили чертеж.) Надо было выполнять арифметическое действие для ответа на вопрос? (Нет.) Действительно, есть такие задачи, которые не требуют выполнения арифметических действий для их решения.

После освоения этого приема решения нестандартных задач учащимся предлагают решить еще одну-две задачи на закрепление новых знаний. При этом учитель помогает школьникам правильно спланировать поиск решения. Если первоначально он сам предлагал план, задавал наводящие вопросы, то постепенно это начинают делать учащиеся.

Занятие 7. Открытие приема 4: введение вспомогательного элемента (части).

— Прочитайте задачу: «Реку Амур, длина которой 2824 км, принято делить на три части: нижний, средний и верхний Амур. Определите длину каждой из этих частей, если известно, что верхний Амур на 43 км короче нижнего и на 93 км короче среднего».

В ходе выявления проблемы и формулировки гипотезы учитель проводит беседу.

— Что нужно узнать в задаче? Выскажите свои предположения о ее решении. Как мы будем его искать? (Попробуем построить чертеж.) Для этого проанализируем задачу.

На сколько частей делится река Амур? (На три части.) На какие? (Верхний Амур, средний Амур и нижний Амур.) Что нам известно про верхний Амур? (Он короче нижнего на 43 км и короче среднего на 93 км.) Можем ли мы, исходя из этого, определить, какая часть длиннее, а какая короче? (Да. Верхний Амур самый короткий, средний Амур — самый длинный.) Что известно про длину реки Амур? (Она равна 2824 км.)

Теперь мы можем построить чертеж. У нас есть три объекта: верхний, средний и нижний Амур. Чертим три отрезка и при этом помним, что самый длинный отрезок — средний Амур, а самый короткий — верхний Амур. Покажем на чертеже разницу между частями и общую длину Амура.

Далее учитель организует работу по планированию хода исследования и разработке плана решения.

— Посмотрев на чертеж, мы видим, что все части можно приравнять к длине верхнего Амура. Как нам это сделать? (Нам надо вычесть из длины Амура всю разницу, которая существует между частями, а затем мы сможем узнать длину верхнего Амура делением.) Зная длину верхнего Амура, мы сможем узнать длины его остальных частей?

Ученики записывают решение задачи.

1) 2 824 – 93 = 2 731 (км);

2) 2 731 – 43 = 2 688 (км);

3) 2 688 : 3 = 896 (км) — приходится на 1 часть или верхний Амур;

4) 896 + 93 = 989 (км) — длина среднего Амура;

5) 896 + 43 = 939 (км) — длина нижнего Амура.

Для проверки полученных результатов учащиеся выполняют сложение:

896 + 989 + 939 = 2 824 (км)

— Что помогло нам решить задачу? (Мы выполнили чертеж и, изучив его, построили план решения задачи. При этом мы выделили части, из которых состоит Амур.) Для закрепления изученного материала учащимся предлагается следующая задача:

«Веревку разрезали на 2 куска так, что один кусок оказался в 4 раза длиннее другого. Чему равна длина веревки, если один кусок длиннее другого на 18 см?» Ученики самостоятельно выполняют чертеж и решают задачу, используя понятие части.

Уже к середине учебного года учащиеся делали большие успехи при решении нестандартных задач, у них пропало чувство страха перед неизвестной задачей, возрос интерес к занятиям математикой.

Заключение

Список использованной литературы

19. Федеральный государственный образовательный стандарт начального общего образования. М., 2010.

20. Фридман Л.М. Сюжетные задачи по математике. История, теория и методика. М., 2002.

21. Хинчин А.Я. О формализме в школьном преподавании математики // Изв. АПН РСФСР. Вып. 4. М.; Л., 1946.

22. Холодная М.А. Психология интеллекта. Парадоксы исследования. СПб., 2002,

23. Царева С. Е. Различные способы решения текстовых задач // Начальная школа. 1991. №2.

24. Черч А. Введение в математическую логику. Т. 1. М., 1960.

25. Шадрина И.В. Математическое развитие младших школьников. М., 2009.